Question

3．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{1}{2}$，左頂點（-4，0），過點A作斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓C于D，交y軸于E．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知點P為AD的中點，是否存在定點Q，對于任意的k（k≠0），都有OP⊥EQ？若存在，求出點Q的坐標；若不存在說明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率e=$\frac{1}{2}$，左頂點（-4，0），求出a，b，由此能求出橢圓方程．
（2）直線的方程為y=k（x+4），與橢圓聯(lián)立，得（x+4）[（4k²+3）x+16k²-12]=0，由此利用韋達定理、中點坐標公式、直線方程、直線垂直、橢圓性質，結合已知條件能求出定點Q的坐標．

解答 解：（1）∵左頂點為A（-4，0），∴a=4，
又∵e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，∴c=2，
又∵b²=a²-c²=16-4=12，…（2分）
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1．…（3分）
（2）直線的方程為y=k（x+4），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\\{y=k（x+4）}\end{array}\right.$，消元得$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{[k（x+4）]^{2}}{12}=1$，
化簡得（x+4）[（4k²+3）x+16k²-12]=0，
∴${x}_{1}=-4，{x}_{2}=\frac{-16{k}^{2}+12}{4{k}^{2}+3}$，…（6分）
∴D（$\frac{-16{k}^{2}+12}{4{k}^{2}+3}$，$\frac{24k}{4{k}^{2}+3}$），又∵點P為AD的中點，∴P（$\frac{-16{k}^{2}}{4{{k}^{2}+3}_{\;}}$，$\frac{12k}{4{k}^{2}+3}$），
則k_OP=-$\frac{3}{4k}$（k≠0），…（9分）
直線l的方程為y=k（x+4），令x=0，得E（0，4k），
假設存在定點Q（m，n）（m≠0）使得OP⊥EQ，則k_OP•k_EQ=-1，
即-$\frac{3}{4k}•\frac{n-4k}{m}=-1$，
∴（4m+12）k-3n=0恒成立
∴$\left\{\begin{array}{l}{4m+12=0}\\{-3n=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m=-3}\\{n=0}\end{array}\right.$，
因此定點Q的坐標為（-3，0）…（12分）

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查滿足直線與直線垂直的定點是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意韋達定理、中點坐標公式、直線方程、直線垂直、橢圓性質的合理運用．