如圖,正方體ABCD—A1B1C1D1中,E為AB中點(diǎn),F(xiàn)為正方形BCC1B1的中心.

(1)求直線EF與平面ABCD所成角的正切值;

(2)求異面直線A1C與EF所成角的余弦值.

 

【答案】

(1) (2)

【解析】

試題分析:解法一:(1)取BC中點(diǎn)H,連結(jié)FH,EH,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2.

∵F為BCC1B1中心,E為AB中點(diǎn).

∴FH⊥平面ABCD,F(xiàn)H=1,EH=

∴∠FEH為直線EF與平面ABCD所成角,且FH⊥EH.

∴tan∠FEH===.……6分

(2)取A1C中點(diǎn)O,連接OF,OA,則OF∥AE,且OF=AE.

∴四邊形AEFO為平行四邊形.∴AO∥EF.

∴∠AOA1為異面直線A1C與EF所成角.

∵A1A=2,AO=A1O=

∴△AOA1中,由余弦定理得cos∠A1OA=.……12分

解法二:設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,以B為原點(diǎn),BC為x軸,BA為y軸,BB1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.則B(0,0,0),B1(0,0,2),E(0,1,0),F(xiàn)(1,0,1),

C(2,0,0),A1(0,2,2).

(1)=(1,-1,1),=(0,0,2),且為平面ABCD的法向量.

∴cos<,>=

設(shè)直線EF與平面ABCD所成角大小為θ.

∴sinθ=,從而tanθ=.……6分

(2)∵=(2,-2,-2).∴cos<,>=

∴異面直線A1C與EF所成角的余弦值為.……12分

考點(diǎn):異面直線所成的角,線面角

點(diǎn)評(píng):解決的關(guān)鍵是根據(jù)異面直線所成角的定義, 以及線面角的概念,結(jié)合向量法來(lái)得到,屬于基礎(chǔ)題。

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,它的各個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,問(wèn)球O的表面積.
(1) 如果球O和這個(gè)正方體的六個(gè)面都相切,則有S=
 

(2)如果球O和這個(gè)正方體的各條棱都相切,則有S=
 

精英家教網(wǎng)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為BB1和A1D1的中點(diǎn).證明:向量
A1B
、
B1C
、
EF
是共面向量.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1棱長(zhǎng)為8,E、F分別為AD1,CD1中點(diǎn),G、H分別為棱DA,DC上動(dòng)點(diǎn),且EH⊥FG.
(1)求GH長(zhǎng)的取值范圍;
(2)當(dāng)GH取得最小值時(shí),求證:EH與FG共面;并求出此時(shí)EH與FG的交點(diǎn)P到直線B1B的距離.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,若E、F、G分別為棱BC、C1C、B1C1的中點(diǎn),O1、O2分別為四邊形ADD1A1、A1B1C1D1的中心,則下列各組中的四個(gè)點(diǎn)不在同一個(gè)平面上的是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H分別是所在棱的三等分點(diǎn),且BF=DE=C1G=C1H=
13
AB

(1)證明:直線EH與FG共面;
(2)若正方體的棱長(zhǎng)為3,求幾何體GHC1-EFC的體積.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案