如圖,正方體ABCD—A1B1C1D1中,E為AB中點(diǎn),F(xiàn)為正方形BCC1B1的中心.
(1)求直線EF與平面ABCD所成角的正切值;
(2)求異面直線A1C與EF所成角的余弦值.
(1) (2)
【解析】
試題分析:解法一:(1)取BC中點(diǎn)H,連結(jié)FH,EH,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2.
∵F為BCC1B1中心,E為AB中點(diǎn).
∴FH⊥平面ABCD,F(xiàn)H=1,EH=.
∴∠FEH為直線EF與平面ABCD所成角,且FH⊥EH.
∴tan∠FEH===.……6分
(2)取A1C中點(diǎn)O,連接OF,OA,則OF∥AE,且OF=AE.
∴四邊形AEFO為平行四邊形.∴AO∥EF.
∴∠AOA1為異面直線A1C與EF所成角.
∵A1A=2,AO=A1O=.
∴△AOA1中,由余弦定理得cos∠A1OA=.……12分
解法二:設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,以B為原點(diǎn),BC為x軸,BA為y軸,BB1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.則B(0,0,0),B1(0,0,2),E(0,1,0),F(xiàn)(1,0,1),
C(2,0,0),A1(0,2,2).
(1)=(1,-1,1),=(0,0,2),且為平面ABCD的法向量.
∴cos<,>=.
設(shè)直線EF與平面ABCD所成角大小為θ.
∴sinθ=,從而tanθ=.……6分
(2)∵=(2,-2,-2).∴cos<,>=.
∴異面直線A1C與EF所成角的余弦值為.……12分
考點(diǎn):異面直線所成的角,線面角
點(diǎn)評(píng):解決的關(guān)鍵是根據(jù)異面直線所成角的定義, 以及線面角的概念,結(jié)合向量法來(lái)得到,屬于基礎(chǔ)題。
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