Question

（2012•貴州模擬）已知

a

=(2cosx+2

3

sinx，1)，

b

=(y，cosx)，且

a

∥

b

．
（I）將y表示成x的函數(shù)f（x），并求f（x）的最小正周期；
（II）記f（x）的最大值為M，a、b、c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C對應(yīng)的邊長，若f(

A

2

)=M，且a=2，求bc的最大值．

Answer 1

分析：（I）利用向量共線的條件，結(jié)合二倍角、輔助角公式，可得函數(shù)關(guān)系式，從而可得f（x）的最小正周期；
（II）先確定A，再利用余弦定理，結(jié)合基本不等式，即可求得結(jié)論．

解答：解：（I）因?yàn)?span id="lnmsdld" class="MathJye">

a

=(2cosx+2

3

sinx，1)，

b

=(y，cosx)，且

a

∥

b

．
所以2cos2x+2

3

sinxcos-y=0
即y=2cos2x+2

3

sinxcos=cos2x+

3

sin2x+1=2sin(2x+

π

6

)+1
所以f(x)=2sin(2x+

π

6

)+1，
又T=

2π

ω

=

2π

2

=π
所以函數(shù)f（x）的最小正周期為π；
（II）由（I）得f（x）的最大值M=3
于是由f(

A

2

)=M=3，可得2sin(A+

π

6

)+1=3，∴sin(A+

π

6

)=1，
因?yàn)锳為三角形的內(nèi)角，所以A=

π

3

由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得4=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc
解得bc≤4
于是當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)，bc的最大值為4．

點(diǎn)評：本題考查向量共線，考查函數(shù)的最值，考查余弦定理及基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．