Question

7．己知函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{b（x+1）}{x}$，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=2．
（1）求a、b的值；
（2）當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)．求證：f（x）＞$\frac{（x+1）lnx}{x-1}$．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由已知切線方程，可得f（1）=2，f′（1）=0，解方程可得a，b的值；
（2）討論x＞1，0＜x＜1時(shí)，原不等式的等價(jià)變形，設(shè)g（x）=x-$\frac{1}{x}$-2lnx，求得導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得證．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{b（x+1）}{x}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{{x}^{2}}$，
曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=2，
可得f（1）=2b=2，f′（1）=a-b=0，
解得a=b=1；
（2）證明：當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞$\frac{（x+1）lnx}{x-1}$，
即為lnx+1+$\frac{1}{x}$＞lnx+$\frac{2lnx}{x-1}$，
即x-$\frac{1}{x}$-2lnx＞0，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）＞$\frac{（x+1）lnx}{x-1}$，
即為x-$\frac{1}{x}$-2lnx＜0，
設(shè)g（x）=x-$\frac{1}{x}$-2lnx，g′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$=$\frac{（x-1）^{2}}{{x}^{2}}$≥0，
可得g（x）在（0，+∞）遞增，
當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＞g（1）=0，即有f（x）＞$\frac{（x+1）lnx}{x-1}$；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g（x）＜g（1）=0，即有f（x）＞$\frac{（x+1）lnx}{x-1}$．
綜上可得，當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)，f（x）＞$\frac{（x+1）lnx}{x-1}$都成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，考查不等式的證明，注意運(yùn)用分類討論的思想方法，以及構(gòu)造函數(shù)法，運(yùn)用單調(diào)性證明，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．