Question

已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足S_n=bⁿ+r（b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù)）
（1）求r的值；      
（2）當(dāng)b=2時，記bn=

n+1

4an

（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用a_n=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，由Sn=bn+r，知a₁=S₁=b+r，a_n=S_n-S_n-1=（b-1）•b^n-1，再由{a_n}為等比數(shù)列，能求出r．
（2）由a_n=（b-1）•b^n-1，b=2，知a_n=2^n-1，b_n=

n+1

4an

=

n+1

2n+1

，由此利用錯位相減法能求出T_n．

解答：解：（1）因?yàn)?span id="9h9pwdv" class="MathJye">Sn=bn+r，當(dāng)n=1時，a₁=S₁=b+r，（1分）
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=bⁿ+r-（b^n-1+r）
=bⁿ-b^n-1
=（b-1）•b^n-1，（3分）
又∵{a_n}為等比數(shù)列，
∴a1=(b-1)•b0=b-1=b+r，
∴r=-1．（4分）
（2）證明：由（1）得等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為b-1，公比為b，
∴a_n=（b-1）•b^n-1，（5分）
當(dāng)b=2時，an=(b-1)•bn-1=2^n-1，
b_n=

n+1

4an

=

n+1

4×2n-1

=

n+1

2n+1

，（6分）
設(shè)T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，
則T_n=

2

22

+

3

23

+

4

24

+…+

n+1

2n+1

，

1

2

Tn=

2

23

+

3

24

+

4

25

+…+

n

2n+1

+

n+1

2n+2

，（7分）
兩式相減，得

1

2

Tn=

2

22

+

1

23

+

1

24

+

1

25

+…+

1

2n+1

-

n+1

2n+2

=

1

2

+

1 23 ×(1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

n+1

2n+2

=

3

4

-

1

2n+1

-

n+1

2n+2

，（9分）
所以Tn=

3

2

-

1

2n

-

n+1

2n+1

=

3

2

-

n+3

2n+1

．（10分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意錯位相減法的合理運(yùn)用．