設(shè)a>1,函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)y=4-a|x-2|-2•ax-2的圖象關(guān)于點A(1,2)對稱.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)=m有兩個不同的正數(shù)解,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)函數(shù)g(x)=f(-x),x∈[-2,+∞),g(x)滿足如下性質(zhì):若存在最大(小)值,則最大(小)值與a無關(guān).試求a的取值范圍.
【答案】
分析:(1)設(shè)出動點的坐標,利用中點的坐標公式求出對稱點的坐標,代入已知函數(shù)的解析式,即得動點的解析式.
(2)通過換元,將問題轉(zhuǎn)化為二次方程的實根分布,畫出二次函數(shù)的通圖象,從判別式、對稱軸的位置、區(qū)間端點值的符號上加以限制,列出不等式組,求出m的范圍.
(3)對自變量x分段討論去掉絕對值符號,研究函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最值,對a分類討論,判斷最值是否與a有關(guān).
解答:解:(1)設(shè)點P(x,y)是函數(shù)f(x)圖象上任意一點,P關(guān)于點A對稱的點為P'(x',y'),則
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,
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,于是x'=2-x,y'=4-y,(2分)
因為P'(x',y')在函數(shù)g(x)的圖象上,所以y'=4-a
|x'-2|-2•a
x'-2,(3分)
即4-y=4-a
|-x|-2•a
-x,y=a
|x|+2•a
-x,所以f(x)=a
|x|+2•a
-x(或
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).(5分)
(2)令a
x=t,因為a>1,x>0,所以t>1,所以方程f(x)=m可化為
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,
即關(guān)于t的方程t
2-mt+2=0有大于1的相異兩實數(shù)解.(8分)
作h(t)=t
2-mt+2,則
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,(11分)
解得
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.所以m的取值范圍是
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.(12分)
(3)g(x)=a
|x|+2a
x,x∈[-2,+∞).
當x≥0時,因為a>1,所以a
x≥1,g(x)=3a
x∈[3,+∞),所以函數(shù)g(x)不存在最大值.(13分)
當-2≤x<0時,
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,令t=a
x,則
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,
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,
當
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,即
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時,h(t)在
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上是增函數(shù),存在最小值
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,
與a有關(guān),不符合題意.(15分)
當
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,即
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時,h(t)在
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上是減函數(shù),在
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上是增函數(shù),當
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即
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時,h(t)取最小值
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,與a無關(guān).(17分)
綜上所述,a的取值范圍是
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.(18分)
點評:本題考查函數(shù)解析式的求法:設(shè)出動點坐標,求出相關(guān)點的坐標,利用相關(guān)點滿足的解析式求出動點的解析式.
考查換元法:要注意新變量的范圍、考查二次方程的實根分布、考查利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值.