Question

13．在區(qū)間[0，2]上任取兩個數(shù)a，b，方程x²+ax+b²=0有實數(shù)解的概率為$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 本題是一個等可能事件的概率，試驗發(fā)生包含的事件是在區(qū)間[0，2]上任取兩個數(shù)a和b，寫出事件對應(yīng)的集合，做出面積，
滿足條件的事件是關(guān)于x的方程x²+ax+b²=0有實數(shù)根，根據(jù)二次方程的判別式寫出a，b要滿足的條件，寫出對應(yīng)的集合，做出面積，計算概率值．

解答 解：由題意知本題是一個等可能事件的概率，
∵試驗發(fā)生包含的事件是在區(qū)間[0，2]上任取兩個數(shù)a和b，
事件對應(yīng)的集合是Ω={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤2}
對應(yīng)的面積是s_Ω=4，
滿足條件的事件是關(guān)于x的方程x²+ax+b²=0有實數(shù)根，
即a²-4b²≥0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≥2b}\\{a≥-2b}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≤2b}\\{a≤-2b}\end{array}\right.$，
事件對應(yīng)的集合是A={（a，b）|0≤a≤1，0≤b≤1，|a|≥2|b|}
對應(yīng)的圖形的面積是s_A=S_△OAB=$\frac{1}{2}$×2×1=1
∴根據(jù)等可能事件的概率得到P=$\frac{1}{4}$
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了幾何概型的應(yīng)用問題，幾何概型的概率值是通過長度、面積、和體積、的比值得到．