Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=

2

，AD=AA₁=1，M是A₁C₁的中點．
（1）求證：CM∥平面A₁BD，
（2）求二面角A₁-BD-C₁的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明CM∥平面A₁BD．
（2）分別求出平面DBC₁的法向量和平面A₁BD的法向量，由此能求出二面角A₁-BD-C₁的平面角．

解答： （1）證明：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則M（

1

2

，

2

2

，1），C（0，

2

，0），C₁（0，

2

，1），
A₁（1，0，1），B（1，

2

，0），D₁（0，0，1），

A1B

=（0，

2

，-1），

A1D

=（-1，0，-1），

CM

=（

1

2

，-

2

2

，1），
設(shè)平面A₁BD的法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • A1B = 2 y-z=0 n • A1D =-x-z=0

，
取y=

2

，得

n

=（-2，

2

，2），
∵

n

•

CM

=-1-1+2=0，CM不包含于平面A₁BD，
∴CM∥平面A₁BD．
（2）解：

DB

=（1，

2

，0），

DC1

=（0，

2

，1），
設(shè)平面DBC₁的法向量

m

=（a，b，c），
則

DB • m =a+ 2 b=0 DC1 • m = 2 b+c=0

，
取a=2，得

m

=（2，-

2

，2），
又平面A₁BD的法向量

n

=（-2，

2

，2），
設(shè)二面角A₁-BD-C₁的平面角為θ，
cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

-4-2+4

10 • 10

|=

1

5

．

點評：本題直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．