Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

3

2

，橢圓與直線(xiàn)x+2y+8=0相交于點(diǎn)P，Q，且|PQ|=

10

，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)離心率及a、b、c的關(guān)系消去一個(gè)參數(shù)，使橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中只含有一個(gè)參數(shù)；把直線(xiàn)方程代入橢圓的方程，轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的一元二次方程，使用根與系數(shù)的關(guān)系以及兩點(diǎn)間的距離公式，求出這個(gè)參數(shù)的值，進(jìn)而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答：解：e=

c

a

=

3

2

，則c=

3

2

a．由c²=a²-b²，得a²=4b²．
由

x2 4b2 + y2 b2 =1 x+2y+8=0

消去x，得2y²+8y+16-b²=0．
由根與系數(shù)關(guān)系，得y₁+y₂=-4，y1y2=

16-b2

2

．
|PQ|²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）² =5（y₁-y₂）² =5[（y₁+y₂）²-4y₁y₂]=10，
即5[16-2（16-b²）]=10，解得b²=9，則a²=36．
所以橢圓的方程為

x2

36

+

y2

9

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，以及兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用．