Question

6．已知函數(shù)f（x）是定義域為R上的奇函數(shù)，任意m，n∈（0，+∞）且m≠n時，都有$\frac{f（m）-f（n）}{m-n}$＞0，f（2）=0，則不等式$\frac{f（x）}{x}$＜0的解集是（　�。�

• A． {x|x＜-2或0＜x＜2}
• B． {x|-2＜x＜0或x＞2}
• C． {x|-2＜x＜2}
• D． {x|-2＜x＜0或0＜x＜2}

Answer 1

分析 由y=f（x）是奇函數(shù)及在x∈[0，+∞）上的單調(diào)性，結(jié)合奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，可得函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-∞，0]中的單調(diào)性，進而得到不等式$\frac{f（x）}{x}$＜0的解集．

解答 解：∵任意m，n∈（0，+∞）且m≠n時，都有$\frac{f（m）-f（n）}{m-n}$＞0，
∴函數(shù)f（x）是在（0，+∞）上的單調(diào)遞增函數(shù)，
∵由已知函數(shù)f（x）是定義域為R上的奇函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）是定義域為R上的單調(diào)遞增函數(shù)．
∵不等式$\frac{f（x）}{x}$＜0等價于①x＞0時，f（x）＜0；②x＜0時，f（x）＞0，
又已知f（2）=0，
∴不等式$\frac{f（x）}{x}$＜0的解集為{x|-2＜x＜0或0＜x＜2}．
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，其中根據(jù)已知條件結(jié)合奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，從而判斷出函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-∞，0）中的單調(diào)性，是解答本題的關(guān)鍵