Question

已知△ABC的頂點A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），其中0＜α＜π．
（Ⅰ）若|

AC

|=|

BC

|，求角α的值；
（Ⅱ）若△ABC的面積為S△ABC=

7

2

，求sinα-cosα的值

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量模的坐標形式的公式列出方程求出角
（Ⅱ）利用直線方程的公式：兩點式求出直線AB，利用點線距離公式求出三角形的高，利用三角形的面積公式表示出三角形的面積，列出方程，利用三角函數的誘導公式化簡求出sinα-cosα的值

解答：解：（1）|

AC

|=|

BC

|，得：

(cosα-3)2+sin2α

=

cos2α +(sin α-3)2

，
即：sinα=cosα，
又∵0＜α＜π，
∴α=

π

4

．
（2）直線AB方程為：x+y-3=0.|AB|=3

2

，點C到直線AB的距離為：
d=

|cosα+sinα-3|

2

=

3-(cosα+sinα)

2

．
∵S△ABC=

1

2

|AB|d=

1

2

×3

2

×

3-(cosα+sinα)

2

=

7

2

∴sinα+cosα=

2

3

，
∴2sinαcosα=-

5

9

，
又∵0＜α＜π，
∴sinα＞0，cosα＜0；
∴(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=

14

9

∴sinα-cosα=

14

3

點評：本題考查向量模的坐標形式的公式；直線方程及點線距離公式；三角形的面積公式及三角函數誘導公式．