Question

13．設(shè)點P在雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的右支上，雙曲線的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，若|PF₁|=4|PF₂|，則雙曲線離心率的取值范圍是（　�。�

• A． $（{1，\frac{5}{3}}]$
• B． （1，2]
• C． $[{\frac{5}{3}，+∞}）$
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=3|PF₂|=2a，再根據(jù)點P在雙曲線的右支上，可得|PF₂|≥c-a，從而求得此雙曲線的離心率e的取值范圍．

解答 解：∵|PF₁|=4|PF₂|，
∴由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=3|PF₂|=2a，
∴|PF₂|=$\frac{2}{3}$a，
∵點P在雙曲線的右支上，
∴|PF₂|≥c-a，
∴$\frac{2}{3}$a≥c-a，即$\frac{5}{3}$a≥c，
∴e=$\frac{c}{a}$≤$\frac{5}{3}$，
∵e＞1，
∴1＜e≤$\frac{5}{3}$，
∴雙曲線的離心率e的取值范圍為（1，$\frac{5}{3}$]．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．