Question

6．已知函數$f（x）=x+\frac{m}{x}（m∈R）$，且該函數的圖象過點（1，5）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式，并判斷f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判斷f（x）在區(qū)間（0，2）上的單調性，并用函數單調性的定義證明你的結論．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據條件求出m的值，結合函數奇偶性的定義進行證明即可，
（Ⅱ）根據函數單調性的定義進行證明即可．

解答 解：（Ⅰ）因為函數f（x）圖象過點（1，5），即1+$\frac{m}{1}$=5，解得m=4．（1分）
所以$f（x）=x+\frac{4}{x}$．（2分）
因為f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），定義域關于坐標原點對稱，
又$f（-x）=-x+\frac{4}{-x}=-（{x+\frac{4}{x}}）=-f（x）$，（3分）
所以函數f（x）是奇函數．（4分）
（II）函數f（x）在區(qū)間（0，2）上是減函數．（5分）
證明：設x₁，x₂∈（0，2），且x₁＜x₂，
則$f（{x_1}）-f（{x_2}）=（{{x_1}+\frac{4}{x_1}}）-（{{x_2}+\frac{4}{x_2}}）=（{x_1}-{x_2}）+（{\frac{4}{x_1}-\frac{4}{x_2}}）$（6分）
=$（{x_1}-{x_2}）-\frac{{4（{x_1}-{x_2}）}}{{{x_1}{x_2}}}=（{x_1}-{x_2}）（{1-\frac{4}{{{x_1}{x_2}}}}）$（8分）
因為x₁，x₂∈（0，2），則x₁•x₂∈（0，4），
所以$\frac{4}{{{x_1}{x_2}}}＞1，1-\frac{4}{{{x_1}{x_2}}}＜0$．（10分）
又因為x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，
所以$（{x_1}-{x_2}）（{1-\frac{4}{{{x_1}{x_2}}}}）＞0$，即f（x₁）-f（x₂）＞0．（11分）
所以f（x）在區(qū)間（0，2）上是減函數．（12分）

點評 本題主要考查函數奇偶性和單調性的判斷，利用函數奇偶性和單調性的定義是解決本題的關鍵．