2．已知a、b、c都是正數(shù)，求證ab（a+b）+bc（b+c）+ca（c+a）≥6abc．

分析 將不等式的左邊化為a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2），運(yùn)用重要不等式：a2+b2≥2ab，即可得到證明．

解答 證明：由a、b、c都是正數(shù)，
ab（a+b）+bc（b+c）+ca（c+a）
=a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）
≥a•2bc+b•2ca+c•2ab=6abc，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，取得等號(hào)．
則ab（a+b）+bc（b+c）+ca（c+a）≥6abc．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用重要不等式：a2+b2≥2ab，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

12．某衛(wèi)視的大型娛樂節(jié)目現(xiàn)場，所有參演的節(jié)目都由甲、乙、丙三名專業(yè)老師投票決定是否通過進(jìn)入下一輪，甲、乙、丙三名老師都有“通過”“待定”“淘汰”三類票各一張，每個(gè)節(jié)目投票時(shí)，甲、乙、丙三名老師必須且只能投一張票，每人投三類票中的任意一類票的概率均為$\frac{1}{3}$，且三人投票相互沒有影響，若投票結(jié)果中至少有兩張“通過”票，則該節(jié)目獲得“通過”，否則該節(jié)目不能獲得“通過”．
（I）求某節(jié)目的投票結(jié)果獲“通過”的概率；
（Ⅱ）記某節(jié)目投票結(jié)果中所含“通過”和“待定”票票數(shù)之和為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

13．參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）表示的曲線是（　�。�
A．一條直線B．兩條直線C．一條射線D．一條線段

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

10．已知函數(shù)f（x）=x-a-lnx（a∈R）．
（1）若f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（1）證明：若0＜x1＜x2，則$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜$\frac{1}{{x}_{1}（{x}_{1}+1）}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

17．已知x，y都是正實(shí)數(shù)，求證：
（1）$\frac{x}{y}$$+\frac{y}{x}$≥2；
（2）（x+y）（x2+y2）（x3+y3）≥8x3y3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

7．給定橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），稱圓C1：x2+y2=a2+b2為橢圓C的“伴隨圓”． 已知點(diǎn)A（2，1）是橢圓G：x2+4y2=m上的點(diǎn)．
（1）若過點(diǎn)$P（0，\sqrt{10}）$的直線l與橢圓G有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求l被橢圓G的伴隨圓G1所截得的弦長；
（2）橢圓G上的B，C兩點(diǎn)滿足4k1•k2=-1（其中k1，k2是直線AB，AC的斜率），求證：B，C，O三點(diǎn)共線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

14．某著名歌星在某地舉辦一次歌友會(huì)，有1000人參加，每人一張門票，每張100元．在演出過程中穿插抽獎(jiǎng)活動(dòng)，第一輪抽獎(jiǎng)從這1000張票根中隨機(jī)抽取10張，其持有者獲得價(jià)值1000元的獎(jiǎng)品，并參加第二輪抽獎(jiǎng)活動(dòng)．第二輪抽獎(jiǎng)由第一輪獲獎(jiǎng)?wù)擢?dú)立操作按鈕，電腦隨機(jī)產(chǎn)生兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y（x，y∈[0，4]），若滿足y≥$\frac{8}{5}x$，電腦顯示“中獎(jiǎng)”，則抽獎(jiǎng)?wù)咴俅潍@得特等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金；否則電腦顯示“謝謝”，則不獲得特等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金．
（Ⅰ）已知小明在第一輪抽獎(jiǎng)中被抽中，求小明在第二輪抽獎(jiǎng)中獲獎(jiǎng)的概率；
（Ⅱ）設(shè)特等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金為a元，小李是此次活動(dòng)的顧客，求小李參加此次活動(dòng)獲益的期望；若該歌友會(huì)組織者在此次活動(dòng)中獲益的期望值是至少獲得70000元，求a的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

11．已知a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，且a2+b2=1，c2+d2=4，
求證：|ac+bd|≤2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

12．某外語學(xué)校英語班有A1、A2兩位同學(xué)，日語班有B1、B2、B3三位同學(xué)，共5人報(bào)名奧運(yùn)會(huì)志愿者，現(xiàn)從中選出懂英語、日語的志愿者各1人，組成一個(gè)小組．
（1）寫出所有可能的結(jié)果；
（2）求A2被選中的概率．

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