Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+cx+d在x=2處取得極值．
（1）求c的值；
（2）當x＜0時，f（x）＜

1

6

d²+2d恒成立，求d的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）若f（x）在x=2處取得極值，則f′（2）=0，可求出滿足條件的c值；
（2）利用導(dǎo)數(shù)可求函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+cx+d的單調(diào)性，進而分析出當x＜0時，函數(shù)的最大值，又由當x＜0時，f（x）＜

1

6

d²+2d恒成立，可以構(gòu)造出一個關(guān)于d的不等式，解不等式即可得到d的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）在x=2處取得極值，
∴f′（2）=4-2+c=0，
∴c=-2．
∴f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²-2x+d，
（2）∵f′（x）=x²-x-2=（x-2）（x+1），
∴當x∈（-∞，-1]時，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，當x∈（-1，2]時，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減．
∴x＜0時，f（x）在x=-1處取得最大值

7

6

+d，
∵x＜0時，f（x）＜

1

6

d2+2d恒成立，
∴

7

6

+d＜

1

6

d2+2d，即（d+7）（d-1）＞0，
∴d＜-7或d＞1，
即d的取值范圍是（-∞，-7）∪（1，+∞）．

點評：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)在某點取得極值的條件，導(dǎo)數(shù)在最大值，最小值問題中的應(yīng)用，其中根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的解析式，是解答本題的關(guān)鍵．