Question

4．已知拋物線C：y²=2px（p＞0），圓M：（x-2）²+y²=4，圓心M到拋物線準(zhǔn)線的距離為3，點P（x₀，y₀）（x₀≥5）是拋物線在第一象限上的點，過點P作圓M的兩條切線，分別與x軸交于A，B兩點．
（1）求拋物線C的方程；
（2）求△PAB面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題知$2+\frac{p}{2}=3，\;\;p=2$，即可得到拋物線方程；
（2）設(shè)切線方程為：y-y₀=k（x-x₀），可得切線與x軸的交點為$（{{x_0}-\frac{y_0}{k}，\;\;0}）$，
圓心（2，0）到切線的距離為2，得：$（x_0^2-4{x_0}）{k^2}+（4{y_0}-2{x_0}{y_0}）k+y_0^2-4=0$．
設(shè)兩條切線的斜率分別為k₁，k₂，則${k_1}+{k_2}=\frac{{2{x_0}{y_0}-4{y_0}}}{{x_0^2-4{x_0}}}，\;\;{k_1}\;•\;{k_2}=\frac{y_0^2-4}{{x_0^2-4{x_0}}}$，
∴${S_{△PAB}}=\frac{1}{2}|{（{{x_0}-\frac{y_0}{k_1}}）-（{{x_0}-\frac{y_0}{k_2}}）}|\;•\;{y_0}=\frac{1}{2}y_0^2|{\frac{{{k_1}-{k_2}}}{{{k_1}{k_2}}}}|=2\frac{x_0^2}{{{x_0}-1}}$=$2\frac{{{{（{x_0}-1）}^2}+2（{x_0}-1）+1}}{{{x_0}-1}}=2[{（{x_0}-1）+\frac{1}{{{x_0}-1}}+2}]$．
根據(jù)x₀≥5可求得△PAB面積的最小值為$\frac{25}{2}$．

解答 解：（　�。┯深}知$2+\frac{p}{2}=3，\;\;p=2$，
所以拋物線方程為：y²=4x．   …（4分）
（2）設(shè)切線方程為：y-y₀=k（x-x₀），令y=0，解得$x={x_0}-\frac{y_0}{k}$，
所以切線與x軸的交點為$（{{x_0}-\frac{y_0}{k}，\;\;0}）$，
圓心（2，0）到切線的距離為$d=\frac{{|2k+{y_0}-k{x_0}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=2$，
∴${（2k+{y_0}-k{x_0}）^2}=4（{k^2}+1）$，
整理得：$（x_0^2-4{x_0}）{k^2}+（4{y_0}-2{x_0}{y_0}）k+y_0^2-4=0$．
設(shè)兩條切線的斜率分別為k₁，k₂，
則${k_1}+{k_2}=\frac{{2{x_0}{y_0}-4{y_0}}}{{x_0^2-4{x_0}}}，\;\;{k_1}\;•\;{k_2}=\frac{y_0^2-4}{{x_0^2-4{x_0}}}$，
∴${S_{△PAB}}=\frac{1}{2}|{（{{x_0}-\frac{y_0}{k_1}}）-（{{x_0}-\frac{y_0}{k_2}}）}|\;•\;{y_0}=\frac{1}{2}y_0^2|{\frac{{{k_1}-{k_2}}}{{{k_1}{k_2}}}}|=2\frac{x_0^2}{{{x_0}-1}}$
=$2\frac{{{{（{x_0}-1）}^2}+2（{x_0}-1）+1}}{{{x_0}-1}}=2[{（{x_0}-1）+\frac{1}{{{x_0}-1}}+2}]$．
記t=x₀-1∈[4，+∞），則$f（t）=t+\frac{1}{t}+2$．
∵$f'（t）=1-\frac{1}{t^2}=\frac{{{t^2}-1}}{t^2}＞0$，∴f（t）在[4，+∞）上單增，
∴$f（t）≥4+\frac{1}{4}+2=\frac{25}{4}$，∴${S_{△PAB}}≥2×\frac{25}{4}=\frac{25}{2}$，
∴△PAB面積的最小值為$\frac{25}{2}$．  …（12分）

點評 本題考查了拋物線的方程，直線與圓的位置關(guān)系，三角形的面積最值計算，屬于中檔題．