Question

已知：a＞0，b＞0，且a+b=1，求證：（1）

a

+

b

≤

2

；（2）ab+

1

ab

≥

17

4

．

Answer 1

分析：（1）利用分析法，我們易得要證

a

+

b

≤

2

成立，即證2

ab

≤1，由已知中a＞0，b＞0，且a+b=1，根據(jù)基本不等式易得答案．
（2）由已知中a＞0，b＞0，可得

ab

≤

a+b

2

=

1

2

，即0＜ab≤

1

4

，令t=ab（t∈(0，

1

4

]），結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性可得答案．

解答：證明：（1）要證

a

+

b

≤

2

成立，
只要證：a+b+2

ab

≤2，
只要證：2

ab

≤1
∵a＞0，b＞0，
∴

ab

≤

a+b

2

=

1

2

，即2

ab

≤1成立，
∴

a

+

b

≤

2

成立．…（4分）
（2）∵a＞0，b＞0，
∴

ab

≤

a+b

2

=

1

2

，
∴0＜ab≤

1

4

，…（5分）
令t=ab（t∈(0，

1

4

]），
則設(shè)y=ab+

1

ab

=t+

1

t

，t∈(0，

1

4

]
y′ =1-

1

t2

=

t2-1

t2

，
則當(dāng)t∈(0，

1

4

)時，y'_t＜0恒成立，
∴y=t+

1

t

在區(qū)間(0，

1

4

)是減函數(shù)，…（8分）
∴當(dāng)t=

1

4

時，ymin=

17

4

，
∴y≥

17

4

即ab+

1

ab

≥

17

4

．…（10分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是分析法，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是基本不等式，證明方法及函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用，難度中檔．