Question

已知函數f（x）=

sinπx(0≤x≤1) log2016x(x＞1)

，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則abc的取值范圍是（　　）

• A、（0，2016）
• B、（0，2016]
• C、（0，504）
• D、（0，504]

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：計算題,數形結合,函數的性質及應用

分析：先判斷函數的性質以及圖象的特點，利用基本不等式和不等式的性質，結合數形結合的思想去解決．

解答： 解：當0≤x＜1時，函數f（x）=sinπx的對稱軸為x=

1

2

．
當x＞1時，由log₂₀₁₆x=1，解得x=2016．
若a，b，c互不相等，不妨設a＜b＜c，
因為f（a）=f（b）=f（c），
所以由圖象可知0＜a＜

1

2

，

1

2

＜b＜1，1＜c＜2016，
且

a+b

2

=

1

2

，即a+b=1，
由于a+b＞2

ab

，則0＜ab＜

1

4

，
因為1＜c＜2016，
所以0＜abc＜504，
所以abc的取值范圍是（0，504）．
故選C．

點評：本題主要考查函數與方程的應用，考查三角函數的對稱性，利用數形結合是解決本題的關鍵．