Question

已知在等比數列{a_n}中，a₁=1，且a₂是a₁和a₃-1的等差中項．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{b_n}滿足b₁+

b2

2

+

b3

3

+…+

bn

n

=a_n（n∈N^*），求{b_n}的通項公式b_n；
（Ⅲ）求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的性質,等比數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（I）設等比數列{a_n}的公比為q，由a₂是a₁和a₃-1的等差中項，a₁=1，知2a₂=a₁+（a₃-1）=a₃，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由b₁+

b2

2

+

b3

3

+…+

bn

n

=2^n-1，得b₁+

b2

2

+

b3

3

+…+

bn-1

n-1

=2^n-2，兩式相減能求出b_n=n•2^n-2．
（Ⅲ）由b_n=n•2^n-2，利用錯位相減法能求出數列{b_n}的前n項和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）設等比數列{a_n}的公比為q，
∵a₂是a₁和a₃-1的等差中項，a₁=1，
∴2a₂=a₁+（a₃-1）=a₃，
∴q=

a3

a2

=2，
∴an=a1qn-1=2^n-1，（n∈N^*）．
（Ⅱ）∵b₁+

b2

2

+

b3

3

+…+

bn

n

=a_n（n∈N^*），
∴b₁+

b2

2

+

b3

3

+…+

bn

n

=2^n-1，①
∴b₁+

b2

2

+

b3

3

+…+

bn-1

n-1

=2^n-2．②
①-②，得

bn

n

=2^n-2．
∴b_n=n•2^n-2．
（Ⅲ）∵b_n=n•2^n-2，
∴S_n=1•2^-1+2•2⁰+3×2+…+n•2^n-2，③
2S_n=1•2⁰+2×2+3×2²+…+n•2^n-1，④
③-④，得-S_n=

1

2

+1+2+22+…+2n-2-n•2n-1
=

1

2

+

1-2n-1

1-2

-n•2n-1
=

1

2

+2n-1-1-n•2n-1，
∴S_n=（n-1）•2^n-1+

1

2

．

點評：本題考查等差數列的通項公式的求法和數列求和的應用，解題時要認真審題，仔細解答，熟練掌握等差數列和等比數列的通項公式和前n項和公式的靈活運用．