Question

已知f(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d(a≠0)是定義在R上的函數(shù)，其圖象交x軸于A、B、C三點，若點B的坐標為(2，0)且f(x)在[－1，0]和[4，5]上有相同的單調性，在[0，2]和[4，5]上有相反的單調性

(1)求實數(shù)c的值；

(2)在函數(shù)f(x)圖象上是否存在一點M(x₀，y₀)，使f(x)在點M的切線斜率為3b？若存在，求出點M的坐標；不存在說明理由

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)因為f(x)在[－1，0]和[0，2]上有相反的單調性，所以x＝0是f(x)的一個極值點 　　∴f′(0)＝0 　　∴c＝0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　5分; 　　(2)因為f(x)交x軸于點B(2，0)，所以8a＋4b＋d＝0即d＝－4(b＋2a)　2分 　　令f′(x)＝0得3ax2＋2bx＝0，解得x1＝0，x2＝－　　　　　　　2分 　　因為f(x)在[0，2]和[4，5]上有相反單調性， 　　所以－≥2且－≤4 　　即有－6≤　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2分 　　假設存在點M(x0，y0)，使得f(x)在點M的切線率為3b，則f′(x0)＝3b 　　即3ax02＋2bx0－3b＝0 　　所以△＝4ab() 　　∵－6≤ 　　故不存在點M(x0，y0)，使得f(x)在點M的切錢斜率為3b　　　　3分 　　(其它解法參照以上解題要點給分)