Question

2．關于函數$f（x）=lg\frac{{{x^2}+1}}{|x|}（x≠0）$，有下列命題：
①其圖象關于y軸對稱；
②當x＞0時，f（x）為增函數；
③f（x）的最小值是lg2；
④當-1＜x＜0或x＞1時，f（x）是增函數；
⑤f（x）無最大值，也無最小值．
其中正確結論的序號是（　　）

• A． ①②
• B． ①③④
• C． ③④
• D． ①②⑤

Answer 1

分析 ①可判函數為偶函數，可知正確；
②由函數y=x+$\frac{1}{x}$的單調性，可知不正確；
③結合前面的性質可知函數最小值為lg2；
④當-1＜x＜0或x＞1時函數t=x+$\frac{1}{x}$是增函數，根據復合函數知，f（x）是增函數；
⑤由③知，不正確．

解答 解：①定義域為R，又滿足f（-x）=f（x），所以函數y=f（x）的圖象關于y軸對稱，正確．
②令t=x+$\frac{1}{x}$（x＞0），在（0，1]上是減函數，在[1，+∞）上是增函數，不正確．
③t=x+$\frac{1}{x}$≥2，又是偶函數，所以函數f（x）的最小值是lg2，正確．
④當-1＜x＜0或x＞1時函數t=x+$\frac{1}{x}$是增函數，根據復合函數知，f（x）是增函數，正確．
⑤由③知，不正確．
故正確結論的序號是：①③④．
故選：B．

點評 本題考查命題真假的判斷，考查函數的性質，屬于中檔題．