Question

一列火車自A城駛往B城，沿途有n個車站（包括起點站A和終點站B），車上有一節(jié)郵政車廂，每停靠一站便要卸下前面各站發(fā)往該站的郵袋各一個，同時又要裝上該站發(fā)往后面各站的郵袋各一個，試求：
（1）列車從第k站出發(fā)時，郵政車廂內共有郵袋數(shù)是多少個？
（2）第幾站的郵袋數(shù)最多？最多是多少？

Answer 1

設列車從各站出發(fā)時郵政車廂內的郵袋數(shù)構成一個數(shù)列{a_n}
（1）由題意得：a₁=n-1，a₂=（n-1）+（n-2）-1，a₃=（n-1）+（n-2）+（n-3）-1-2．
在第k站出發(fā)時，前面放上的郵袋共：（n-1）+（n-2）+…+（n-k）個
而從第二站起，每站放下的郵袋共：1+2+3+…+（k-1）個
故a_k=（n-1）+（n-2）+…+（n-k）-[1+2+…+（k-1）]=kn-

1

2

k(k+1)-

1

2

k(k-1)=kn-k2(k=1，2，…，n)
即列車從第k站出發(fā)時，郵政車廂內共有郵袋數(shù)kn-k²（k=1，2，…n）個．…（6分）
（2）ak=-(k-

n

2

)2+

1

4

n2當n為偶數(shù)時，k=

1

2

n時，最大值為

1

4

n2
當n為奇數(shù)時，k=

1

2

(n-1)或k=

1

2

(n+1)時，最大值為

1

4

(n2-1)．
所以，當n為偶數(shù)時，第

n

2

站的郵袋數(shù)最多，最多是

1

4

n2個；
當n為奇數(shù)時，第

n-1

2

或第

n+1

2

站的郵袋數(shù)最多，最多是

1

4

(n2-1)個．…（14分）