Question

9．已知在等差數(shù)列{a_n}中，a₄=7，a₂+a₇=16．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=${2}^{{a}_{n}}$+n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．
（2）求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，利用分組求和法進(jìn)行求解．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，由a₄=7，a₂+a₇=16
得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+3d=7}\\{{a}_{1}+d+{a}_{1}+6d=16}\end{array}\right.$，得a₁=1，d=2，
則a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）b_n=${2}^{{a}_{n}}$+n=2^2n-1+n，
則數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=（2¹+2³+…+2^2n-1）+（1+2+…+n）=$\frac{2（1-{4}^{n}）}{1-4}$+$\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{2}{3}$（4ⁿ-1）+$\frac{n（n+1）}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，以及數(shù)列和的計(jì)算，利用分組求和法是解決本題的關(guān)鍵．