Question

若sin³θ-cos³θ＞cosθ-sinθ，且θ∈（0，2π），則θ的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：先將sin³θ-cos³θ＞cosθ-sinθ變形成sin³θ+sinθ＞cos³θ+cosθ，然后構造函數(shù)f（x）=x³+x，將原不等式轉化成f（sinθ）＞f（cosθ），利用導數(shù)研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性可得sinθ＞cosθ，在θ∈（0，2π）上求出θ的取值范圍即可．

解答：解：已知不等式sin³θ-cos³θ＞cosθ-sinθ變形得：sin³θ+sinθ＞cos³θ+cosθ，
設f（x）=x³+x，
∵f′（x）=3x²+1＞0，
∴f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，
∴原不等式變形為f（sinθ）＞f（cosθ），
∴sinθ＞cosθ，
又∵θ∈（0，2π），
∴

π

4

＜θ＜

5π

4

，
則θ的取值范圍是：（

π

4

，

5π

4

）
故答案為：（

π

4

，

5π

4

）

點評：此題考查了同角三角函數(shù)基本關系的運用，熟練掌握基本關系是解本題的關鍵．