Question

已知a為正常數(shù)，點A，B的坐標(biāo)分別是（-a，0），（a，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是-

1

a2

（1）求點M的軌跡方程，并指出方程所表示的曲線；
（2）當(dāng)a=

2

時，過點F（1，0）作直線l∥AM，記l與（1）中軌跡相交于兩點P，Q，動直線AM與y軸交與點N，證明

|PQ|

|AM||AN|

為定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)動點M（x，y），x≠±a，kAM=

y

x+a

，k_BN=

y

x-a

，由此能求出動點M的軌跡方程及該方程表示的曲線．
（2）當(dāng)a=

2

時，A（-

2

，0），動點M的軌跡方程是

x2

2

+y2=1，x≠±

2

，設(shè)直線AM的方程為y=k（x+

2

），由

y=k(x+ 2 ) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²+4

2

k2x+4k2-2=0，由此求出|AM|•|AN|=

4(1+k2)

1+2k2

，又直線PQ的方程為y=k（x-1），由

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，由此求出|PQ|=

2 2 (1+k2)

1+2k2

，從而能證明

|PQ|

|AM|•|AN|

為定值．

解答： （1）解：設(shè)動點M（x，y），x≠±a，
由已知知直線AM，BN的斜率分別是kAM=

y

x+a

，k_BN=

y

x-a

，
∴

y

x+a

•

y

x-a

=-

1

a2

，
整理，得動點M的軌跡方程為：

x2

a2

+y2=1，x≠±a．
當(dāng)0＜a＜1時，方程所表示的曲線是中心在原點，焦點在y軸上，半長軸為1，
半短軸為a的橢圓，不含長軸的兩個端點；
當(dāng)a=1時，方程所表示的曲線是中心在原點，以1為半徑的圓，不含（±1，0）；
a＞1時，方程所表示的曲線是中心在原點，焦點在x軸上，半長軸為a，
半短軸為1的橢圓，不含長軸的兩個端點．
（2）證明：當(dāng)a=

2

時，A（-

2

，0），動點M的軌跡方程是

x2

2

+y2=1，x≠±

2

，
設(shè)直線AM的方程為y=k（x+

2

），k∈R，且k≠0，
令x=0，得y=

2

k，∴N（0，

2

k），
由

y=k(x+ 2 ) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²+4

2

k2x+4k2-2=0，
即（x+

2

）（1+2k²）x+2

2

k2-

2

=0，解得x=-

2

，或x=

2 -2 2 k2

1+2k2

，
又x=

2 -2 2 k2

1+2k2

時，y=k（

2 -2 2 k2

1+2k2

+

2

）=

2 2 k

1+2k2

，
∴M（

2 -2 2 k2

1+2k2

，

2 2 k

1+2k2

），
∴|AM|•|AN|=

2 2 • 1+k2

1+2k2

•

2

1+k2

=

4(1+k2)

1+2k2

，
又由已知得直線PQ的方程為y=k（x-1），
由

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁，x₂是上述方程的兩個根，
∴|x₁-x₂|=

(-4k2)2-4(1+2k2)(2k2-2)

1+2k2

=

2 2 1+k2

1+2k2

，
|PQ|=

1+k2

|x1-x2|=

2 2 (1+k2)

1+2k2

，
∴

|PQ|

|AM|•|AN|

=

2 2 (1+k2) 1+2k2

4(1+k2) 1+2k2

=

2

2

．
∴

|PQ|

|AM||AN|

為定值

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查

|PQ|

|AM||AN|

為定值的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意弦長公式的合理運用．