Question

某工廠年初用98萬元購買一臺(tái)新設(shè)備，第一年設(shè)備維修及燃料、動(dòng)力消耗（稱為設(shè)備的低劣化）的總費(fèi)用12萬元，以后每年都增加4萬元，新設(shè)備每年可給工廠收益50萬元．
（Ⅰ）工廠第幾年開始獲利？
（Ⅱ）若干年后，該工廠有兩種處理該設(shè)備的方案：①年平均獲利最大時(shí)，以26萬元出售該設(shè)備；②總純收入獲利最大時(shí)，以8萬元出售該設(shè)備，問哪種方案對工廠合算？

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）每年費(fèi)用是以12為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，第n年時(shí)累計(jì)的純收入f（n）=50n-[12+16+…+（4n+8）]-98，
獲利為f（n）＞0，解得n的值，可得第幾年開始獲利；
（Ⅱ）計(jì)算方案①年平均獲利最大時(shí)及總收益；方案②總純收入獲利最大時(shí)及總收益；比較兩種方案，總收益相等，第一種方案需7年，第二種方案需10年，應(yīng)選擇第一種方案．
解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)每年費(fèi)用是以12為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，設(shè)第n年時(shí)累計(jì)的純收入為f（n），
則f（n）=50n-[12+16+…+（4n+8）]-98=40n-2n²-98，
獲利為：f（n）＞0，∴4n-2n²-98＞0，即n²-20n+49＜0，∴10-＜n＜10+；
又n∈N，∴n=3，4，5，…，17；
∴當(dāng)n=3時(shí)，即第3年開始獲利．
（Ⅱ）①年平均收入為：（萬元）
即年平均收益最大時(shí)，總收益為：12×7+26=110（萬元），此時(shí)n=7；
②f（n）=-2（n-10）²+102，∴當(dāng)n=10時(shí)，f（n）_max=102；
總收益為110萬元，此時(shí)n=10；
比較兩種方案，總收益均為110萬元，但第一種方案需7年，第二種方案需10年，
故選擇第一種方案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用問題，也是方案設(shè)計(jì)的問題；解題時(shí)應(yīng)細(xì)心分析，認(rèn)真解答，以免出錯(cuò)．