已知雙曲線x2－y2＝2的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的動(dòng)直線與雙曲線相交與A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是(1，0)．

(Ｉ)證明為常數(shù)；

(Ⅱ)若動(dòng)點(diǎn)(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求點(diǎn)M的軌跡方程．

答案：
解析：

　　由條件知，設(shè)，．

　　(I)當(dāng)與軸垂直時(shí)，可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，

　　此時(shí)．

　　當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是．

　　代入，有．

　　則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以，，

　　于是

　　

　　

　　．

　　綜上所述，為常數(shù)．

　　(II)解法一：設(shè)，則，，

　　，，由得：

　　即

　　于是的中點(diǎn)坐標(biāo)為．

　　當(dāng)不與軸垂直時(shí)，，即．

　　又因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0664/0019/e6340597fa915d1f68cf7752cba033dc/C/Image204.gif" width=40 HEIGHT=18>兩點(diǎn)在雙曲線上，所以，，兩式相減得

　　，即．

　　將代入上式，化簡得．

　　當(dāng)與軸垂直時(shí)，，求得，也滿足上述方程．

　　所以點(diǎn)的軌跡方程是．

　　解法二：同解法一得　�、�

　　當(dāng)不與軸垂直時(shí)，由(I) 有．　�、�

　　．　　③

　　由①②③得．　�、�

　　．　　⑤

　　當(dāng)時(shí)，，由④⑤得，，將其代入⑤有

　　．整理得．

　　當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，滿足上述方程．

　　當(dāng)與軸垂直時(shí)，，求得，也滿足上述方程．

　　故點(diǎn)的軌跡方程是．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線
x
2
 
a
2
 
-
y
2
 
=1(a＞0)的漸近線為x±y=0，則雙曲線的焦距為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線x2[]4-y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P在雙曲線上且滿足∠F1PF2=90°,則△F1PF2的面積是__________________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知雙曲線
x2 
a2 
-
y2 
=1(a＞0)的漸近線為x±y=0，則雙曲線的焦距為（　　）
A．
2
B．2C．2
2
D．4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線x2﹣y2=1的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，動(dòng)直線l：y=kx+m與圓x2+y2=1相切，且與雙曲線左、右兩支的交點(diǎn)分別為P1（x1，y1），P2（x2，y2）．

（1）求k的取值范圍，并求x2﹣x1的最小值；

（2）記直線P1A1的斜率為k1，直線P2A2的斜率為k2，那么k1•k2是定值嗎？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線x2－y2＝2的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的動(dòng)直線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是(1,0).

(1)證明：·為常數(shù)；

(2)若動(dòng)點(diǎn)M滿足＝＋＋(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求點(diǎn)M的軌跡方程.

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