設(shè)等差數(shù)列{an}的首項a1為a,前n項和為Sn.
(Ⅰ)若S1,S2,S4成等比數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)證明:n∈N*,Sn,Sn+1,Sn+2不構(gòu)成等比數(shù)列.
(Ⅰ)解:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則Sn=na+ S1=a,S2=2a+d,S4=4a+6d.由于S1,S2,S4成等比數(shù)列,因此 (1)當(dāng)d=0時,an=a; (2)當(dāng)d=2a時,an=(2n-1)a. 6分 (Ⅱ)證明:采用反證法.不失一般性,不妨設(shè)對某個m∈N*,Sm,Sm+1,Sm+2構(gòu)成等比數(shù)列,即 a2+mad+ (1)當(dāng)d=0時,則a=0,此時Sm=Sm+1=Sm+2=0,與等比數(shù)列的定義矛盾; (2)當(dāng)d≠0時,要使數(shù)列{an}的首項a存在,必有①中的Δ≥0. 然而Δ=(md)2-2m(m+1)d2=-(2m+m2)d2<0,矛盾. 綜上所述,對任意正整數(shù)n,Sn,Sn+1,Sn+2都不構(gòu)成等比數(shù)列. 14分 |
本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、等差數(shù)列的通項公式及前n項和的公式,同時考查反證法與推理論證能力.滿分14分. |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
an+1 | 2n |
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