設(shè)等差數(shù)列{an}的首項a1a,前n項和為Sn

(Ⅰ)若S1,S2,S4成等比數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項公式;

(Ⅱ)證明:nN*,Sn,Sn+1,Sn+2不構(gòu)成等比數(shù)列.

答案:
解析:

  (Ⅰ)解:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則Snna,

  S1aS2=2ad,S4=4a+6d.由于S1,S2S4成等比數(shù)列,因此

  S1·S4,即得d(2ad)=0.所以,d=0或2a

  (1)當(dāng)d=0時,ana;

  (2)當(dāng)d=2a時,an=(2n-1)a. 6分

  (Ⅱ)證明:采用反證法.不失一般性,不妨設(shè)對某個mN*,Sm,Sm+1,Sm+2構(gòu)成等比數(shù)列,即.因此

  a2madm(m+1)d2=0,①

  (1)當(dāng)d=0時,則a=0,此時SmSm+1=Sm+2=0,與等比數(shù)列的定義矛盾;

  (2)當(dāng)d≠0時,要使數(shù)列{an}的首項a存在,必有①中的Δ≥0.

  然而Δ=(md)2-2m(m+1)d2=-(2mm2)d2<0,矛盾.

  綜上所述,對任意正整數(shù)n,Sn,Sn+1,Sn+2都不構(gòu)成等比數(shù)列. 14分


提示:

本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、等差數(shù)列的通項公式及前n項和的公式,同時考查反證法與推理論證能力.滿分14分.


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