Question

【題目】已知函數在x=1處的切線與直線平行。

（Ⅰ）求a的值并討論函數y=f(x)在上的單調性。

（Ⅱ）若函數 (為常數)有兩個零點，

(1)求m的取值范圍；

(2)求證： 。

Answer 1

【答案】（Ⅰ），函數y=f(x)在上單調遞減; （Ⅱ）（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求導數，由在x=1處的切線知，即可求a的值，根據導數討論單調性即可；

（Ⅱ）由函數有兩個零點結合（Ⅰ）可知，由，構造，求導證明.

試題解析：

（Ⅰ）

，令，

在上單調遞增，在上單調遞減，所以時，

，即時， ，

所以函數y=f(x)在上單調遞減。

（Ⅱ） (1)由條件可知， ，

在, ，

要使函數有兩個零點，則2m<0,即

(2)由 (Ⅰ)可知， ，

令，

所以即

又在上單調遞減，所以即.