Question

4．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點$（\sqrt{2}，1）$，直線y=k（x-1）（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點M、N，MN中點為P，O為坐標原點，直線OP斜率為$-\frac{1}{2k}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）橢圓C的右頂點為A，當△AMN得面積為$\frac{\sqrt{10}}{3}$時，求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）判斷點（1，0），在橢圓內，交點設為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），表示出斜率，利用平方差法推出斜率關系，得到a²=2b²，利用點在橢圓是得到$\frac{2}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1$，解得a²，b²，求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）聯立y=k（x-1）與橢圓C，利用弦長公式，表示出△AMN面積，化簡求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由題可得直線過點（1，0），在橢圓內，
所以與橢圓一定相交，
交點設為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則$k=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}$，OP斜率為$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}$，
所以$\frac{y_1^2-y_2^2}{x_1^2-x_2^2}=-\frac{1}{2}$，┅┅┅┅┅┅┅（3分）
又$\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1$，$\frac{x_2^2}{a^2}+\frac{y_2^2}{b^2}=1$，所以$\frac{x_1^2-x_2^2}{a^2}+\frac{y_1^2-y_2^2}{b^2}=0$，
所以a²=2b²，又$\frac{2}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1$，解得a²=4，b²=2，
所以橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$；┅┅┅┅┅┅┅（6分）
（Ⅱ）橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$；
橢圓C的右頂點為A（2，0），直線過點P（1，0），|AP|=1．
y=k（x-1）與橢圓C聯立得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-4=0，┅┅┅┅┅┅┅（8分），
x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，y₁-y₂=k（x₁-x₂）．
△AMN面積為：$\frac{1}{2}|AP|•|{y}_{1}-{y}_{2}|$=$\frac{1}{2}|{y_1}-{y_2}|=\frac{|k|}{2}|{x_1}-{x_2}|=\frac{|k|}{2}\frac{{\sqrt{8（2+3{k^2}）}}}{{1+2{k^2}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{3}$，
解得k=±1．┅┅┅┅┅┅┅（12分）

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系的綜合應用，橢圓方程的求法，三角形的面積的解法，點到直線的距離公式，考查轉化思想以及計算能力．