Question

已知f（x）=ax³+bx²+cx的極小值為-4，f′（x）＞0的解集是{x|1＜x＜3}．
（1）求f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，求g（x）=f′（x）+6（m-2）x的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）導(dǎo)數(shù)f′（x）＞0的x的取值范圍{x|1＜x＜3}得到1和3分別為函數(shù)的極小值和極大值點(diǎn)即f′（1）=0且f′（3）=0，且有f（1）=-4，三者聯(lián)立即可求出a、b和c的值，得到f（x）的解析式
（II）求出g（x）=f′（x）+6（m-2）x的解析式，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論后可得當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，求g（x）=f′（x）+6（m-2）x的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³+bx²+cx
∴f′（x）=3ax²+2bx+c，a＞0，
又∵f′（x）＞0的解集是{x|1＜x＜3}．
∴1，3分別為f（x）的極小值，極大值點(diǎn)，且a＞0，
∴f′（1）=0，f′（3）=0，f（1）=-4
∴

a+b+c=-4 3a+2b+c=0 27a+6b+c=0

，
解得a=-1，b=6，c=-9，
∴f（x）=-x³+6x²-9x，
（II）g（x）=f′（x）+6（m-2）x
=-3x²+12x-9+6（m-2）x
=-3x²+6mx-9
其圖象是開口朝下，且以直線x=m為對(duì)稱軸的拋物線
當(dāng)m＞3時(shí)，g（x）在區(qū)間[2，3]上為增函數(shù)，
此時(shí)當(dāng)x=3時(shí)，g（x）取最大值18m-36
當(dāng)2≤m≤3時(shí)，g（x）在區(qū)間[2，m]上為增函數(shù)，在區(qū)間[m，3]上為減函數(shù)，
此時(shí)當(dāng)x=m時(shí)，g（x）取最大值3m²-9
當(dāng)m＜2時(shí)，g（x）在區(qū)間[2，3]上為減函數(shù)，
此時(shí)當(dāng)x=2時(shí)，g（x）取最大值12m-21

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)求區(qū)間上函數(shù)的極值，求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題，解答（I）的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，解答（II）的關(guān)鍵是對(duì)區(qū)間與函數(shù)圖象對(duì)稱軸的關(guān)系進(jìn)行分類討論．