Question

已知函數f（x）=ax²-（a+1）x+1，a∈R．
（1）當a＞0時，求函數y=

f(x)

的定義域；
（2）若存在m＞0使關于x的方程f（|x|）=m+

1

m

有四個不同的實根，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數判斷

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）由題意，f（x）=ax²-（a+1）x+1≥0，討論a，求定義域；
（2）令t=m+

1

m

≥2，則原命題可化為ax²-（a+1）x+1-t=0有兩個不同的正根，從而解得．

解答： 解：（1）由題意，
f（x）=ax²-（a+1）x+1≥0，
即（ax-1）（x-1）≥0，
①當0＜a＜1時，函數y=

f(x)

的定義域為{x|x≥

1

a

或x≤1}，
②當a=1時，函數y=

f(x)

的定義域為R，
③當a＞1時，函數y=

f(x)

的定義域為{x|x≥1或x≤

1

a

}；
（2）令t=m+

1

m

≥2，
則關于x的方程f（|x|）=t有四個不同的實根可化為
a|x|²-（a+1）|x|+1-t=0有四個不同的實根，
即ax²-（a+1）x+1-t=0有兩個不同的正根，
則

△=(a+1)2-4a(1-t)＞0 a+1 a ＞0 1-t a ＞0

，
解得a＜-1．

點評：本題考查了定義域的求法即二次不等式的解法，同時考查了二次方程的根的位置判斷，屬于中檔題．