設集合S={1,2,3,…,2008},現對S的任一非空子集X,令ax表示X中最大數與最小數之和,那么所有這樣的ax的平均數為________.
2009
分析:因為對于M的任一非空子集Z={n1,n2,n3,…},可找出它的對稱集Z′={2009-n1,2009-n2,2009-n3,…},對稱集的最大值與最小值的平均數為2009.
解答:對于M的任一非空子集Z={n1,n2,n3,…},可找出它的對稱集Z′={2009-n1,2009-n2,2009-n3,…}.
例如:當Z={1,2,4,6},則Z′={2003,2005,2007,2008}
對于M的所有非空子集Z和它的對稱集Z′,分成兩種情況:
A)Z=Z′
B)Z≠Z′
設Z的最大數與最小數分別為max,min
如果Z=Z′,則max+min=max+(2009-max)=2009
如果Z≠Z′,則Z′的最大數與最小數分別為2009-min,2009-max,
Z與Z′中最大數與最小數之和的算術平均數=[(max+min)+(2009-min+2009-max)]÷2=20019
以上說明對M的所有非空子集分類后,每個類中Z的最大數與最小數之和的算術平均數都等于1001,故所求的算術平均數也是2009
故答案為2009
點評:解決集合間的包含關系,應該利用集合關系的定義進行解決.