Question

　如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=3，AA₁=4．求異面直線B₁D和BC₁所成角的大小．

 

Answer 1

答案：
解析：

兩條異面直線既不平行又不相交，本來沒有夾角，為了說明兩條直線相“異”的程度，我們引入了“異面直線所成角”的概念，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來解決．求B1D與BC1所成的角，過B1作BC1的平行線B1E，因?yàn)?/span>B1、B、C1三點(diǎn)既在平面BCC1B1內(nèi)，又在平行線BC1和B1E所確定的平面內(nèi)，所以，這兩個(gè)平面重合，則B1E在平面BCC1B1內(nèi)．∵　直線BC與BC1相交于B，∴　直線BC和直線B1E相交于點(diǎn)E，則∠DB1E即為異面直線B1D與BC1所成的角(或是其補(bǔ)角)．因此，求異面直線間的夾角，可分為三個(gè)部分：(1)選點(diǎn)；(2)平移；(3)求角(此角不能為鈍角)． 　　在平面BCC1B1內(nèi)，過B1作B1E∥BC1使B1E與CB的延長(zhǎng)線交于E， 　　則∠DB1E即為異面直線DB1和BC1所成的角或是其補(bǔ)角 　　∵　BC1B1E是平行四邊形 　　∴　BE=B1C1=BC=3 　　在Rt△BCC1中， 　　∵　BC=3，CC1=AA1=4 　　∴　B1E=BC1=5 　　連結(jié)DE，在Rt△DCE中，CD=3，CE=2BC=6　 　　∴　 　　連結(jié)BD，則BD= 　　在Rt△BB1D中，B1D 　　在△EB1D中，cos∠EB1D= = 　　∴　∠EB1D≈76°6′ 　　即異面直線B1D和BC1所成的角等于76°6′．