Question

13．已知棱長(zhǎng)3的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，長(zhǎng)為2的線段MN的一端點(diǎn)M在DD₁上運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)N在底面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，線段EF在平面BC₁A₁內(nèi)，則MN中點(diǎn)P到EF距離的最小值為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$-1
• B． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$-1
• C． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$-1
• D． 2$\sqrt{3}$-1

Answer 1

分析 根據(jù)題意，連接N點(diǎn)與D點(diǎn)，得到一個(gè)直角三角形△NMD，P為斜邊MN的中點(diǎn)，所以|PD|的長(zhǎng)度不變，進(jìn)而得到點(diǎn)P的軌跡是球面的一部分，再求出D到平面BC₁A₁的距離，即可求出MN中點(diǎn)P到EF距離的最小值．

解答 解：如圖可得，端點(diǎn)N在正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，連接N點(diǎn)與D點(diǎn)，
由ND，DM，MN構(gòu)成一個(gè)直角三角形，
設(shè)P為MN的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)度為斜邊的一半可得
DP=$\frac{1}{2}$MN=1，
不論△MDN如何變化，P點(diǎn)到D點(diǎn)的距離始終等于1．
∴MN的中點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)以D為中心，半徑為1的球的$\frac{1}{8}$的球面，
棱長(zhǎng)3的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，對(duì)角線為3$\sqrt{3}$，
所以D到平面BC₁A₁的距離為2$\sqrt{3}$，
所以MN中點(diǎn)P到EF距離的最小值為2$\sqrt{3}$-1，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查點(diǎn)的軌跡方程的判斷，考查MN中點(diǎn)P到EF距離的最小值，綜合性較強(qiáng)．