Question

4．已知函數f（x）=x-1-alnx（a＜0）．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）若對任意x₁，x₂∈（0，1]，且x₁≠x₂，都有$|f（{x_1}）-f（{x_2}）|＜4|\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}|$，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，根據a的范圍，求出導函數的符號，從而求出函數的單調區(qū)間，
（2）將問題轉化為x²-ax-4≤0在x∈（0，1]時恒成立，而函數y=x-$\frac{4}{x}$在區(qū)間（0，1]上是增函數，所以y=x-$\frac{4}{x}$的最大值為-3，從而求出a的范圍．

解答 解：（1）函數f（x）的定義域（0，+∞），f′（x）=1-$\frac{a}{x}$=$\frac{x-a}{x}$，
當a＜0時，f'（x）＞0恒成立，此時，函數f（x）在（0，+∞）上是增函數；
（2）當a＜0時，函數f（x）在（0，1]上是增函數，
又函數y=$\frac{1}{x}$在（0，1]上是減函數，不妨設0＜x₁＜x₂≤1，
則|f（x₁）-f（x₂）|=f（x₂）-f（x₁），|$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$|=$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$，
所以|f（x₁）-f（x₂）|＜4|$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$|等價于f（x₂）-f（x₁）＜$\frac{4}{{x}_{1}}$-$\frac{4}{{x}_{2}}$，
即f（x₂）+$\frac{4}{{x}_{2}}$＜f（x₁）+$\frac{4}{{x}_{1}}$，
設h（x）=f（x）+$\frac{4}{x}$=x-1-alnx+$\frac{4}{x}$，
則|f（x₁）-f（x₂）|＜4|$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$|等價于函數h（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數．
于是h′（x）=1-$\frac{a}{x}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-ax-4}{{x}^{2}}$≤0即x²-ax-4≤0在x∈（0，1]時恒成立，
從而a≥x-$\frac{4}{x}$在x∈（0，1]上恒成立，
而函數y=x-$\frac{4}{x}$在區(qū)間（0，1]上是增函數，
所以y=x-$\frac{4}{x}$的最大值為-3．
于是a≥-3，又a＜0，所以a∈[-3，0）．

點評 本題考查了函數的單調性，函數的最值問題，考查導數的應用，求參數的范圍，考查轉化思想，是一道綜合題．