Question

已知動點M到點(0,)的距離比它到直線y=-的距離小.

(1)求動點M的軌跡方程;

(2)已知A、B、C為(1)中軌跡上三個不同的點.

①若·+=0(A、B異于原點O),求證:直線OB與過A點且與x軸垂直的直線l的交點N在一條定直線上;

②如果直線AB和AC都與圓I:x²+(y-2)²=1相切,試判斷直線BC與圓I的位置關系,并證明你的結論.

Answer 1

解:(1)方法一:設M(x,y)為所求軌跡上任一點,則+=y+,兩邊平方整理得軌跡C的方程為y=x².                                                

方法二:由題意,M到定點(0,)的距離與它到定直線y=-的距離相等,由拋物線的定義可知,M點軌跡C的方程為x²=y.                                           

(2)①設A(a,a²),B(b,b²),N(x,y).(ab≠0)·+=0ab+a²b²+=0ab=-.

直線OB的方程:y=bx,                                            ①

直線l的方程:x=a,                                               ②

把②代入①得y=ab=-.∵a=x≠0,

∴y=-(x≠0).故點N在定直線y=-上.                                   

②方法一:直線AB、AC、BC的方程分別為(a+b)x-y-ab=0,(a+c)x-y-ac=0,(b+c)x-y-bc=0,

由于AB是圓I的切線,則=1,整理得(a²-1)b²+2ab+3-a²=0,

同理,(a²-1)c²+2ac+3-a²=0.

∴b、c是方程(a²-1)x²+2ax+3-a²=0的兩根.b+c=,bc=,于是圓心I到直線BC的距離

d===1,故BC也與圓I相切.                  

方法二:由于AB是圓I的切線,

∴方程組有唯一解,消去y得［(a+b)²+1］x²-2(a+b)(ab+2)x+(ab+2)²-1=0有重根.

∴Δ=4(a+b)²(ab+2)²-4［(a+b)²+1］［(ab+2)²-1］=0,

4［(a+b)²-(ab+2)²+1］=0,即(a²-1)b²+2ab+3-a²=0.

同理,有(a²-1)c²+2ac+3-a²=0.

∴b、c是方程(a²-1)x²+2ax+3-a²=0的兩根.

∴b+c=,bc=.                                              (*)

要證BC與圓I相切,可知只需證Δ′=4［(b+c)²-(bc+2)²+1］=0,事實上由(*),

Δ′=4［()²-(+2)²+1］=4×=0,

∴BC與圓I相切.