用反證法證明問(wèn)題的本質(zhì)是什么？在證明的過(guò)程中要注意什么?如何反設(shè)？

思路:反證法的本質(zhì)是:由證明pq轉(zhuǎn)向證明r……t,t與假設(shè)或與某個(gè)真命題矛盾,為假,推出q為真的方法.以上由定義可以得出,圍繞定義不難得出這幾個(gè)問(wèn)題的答案?

探究:從邏輯角度看,命題“若p則q”的否定是“若p則”.由此進(jìn)行推理,如果發(fā)生矛盾,那么“若p則”為假,因此可知“若p則q”為真.可以看出,反證法與證逆否命題是不同的.由于受“反證法就是證逆否命題”的錯(cuò)誤影響,在否定結(jié)論后的推理過(guò)程中,往往一味尋求與原題設(shè)的矛盾,而不注意尋求其他形式的矛盾,這樣就大大限制和影響了解題思路.

反證法中常用的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”如下:

(1)等于——不等于;

(2)大于——小于等于;

(3)小于——大于等于;

(4)結(jié)論對(duì)所有的x成立——存在某個(gè)x使結(jié)論不成立;

(5)至少有一個(gè)——一個(gè)也沒(méi)有;

(6)至多一個(gè)——至少兩個(gè);

(7)至少n個(gè)——至多n-1個(gè);

(8)至多n個(gè)——至少n+1個(gè);

(9)p或q——且;

(10)p且q——或.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013屆安徽省高二下學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知a、b、c是互不相等的非零實(shí)數(shù).若用反證法證明三個(gè)方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根.

【解析】本試題主要考查了二次方程根的問(wèn)題的綜合運(yùn)用。運(yùn)用反證法思想進(jìn)行證明。

先反設(shè)，然后推理論證，最后退出矛盾。證明：假設(shè)三個(gè)方程中都沒(méi)有兩個(gè)相異實(shí)根，

則Δ1=4b2－4ac≤0，Δ2=4c2－4ab≤0，Δ3=4a2－4bc≤0

相加有a2－2ab+b2+b2－2bc+c2+c2－2ac+a2≤0，

（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2≤0.顯然不成立。

證明：假設(shè)三個(gè)方程中都沒(méi)有兩個(gè)相異實(shí)根，

則Δ1=4b2－4ac≤0，Δ2=4c2－4ab≤0，Δ3=4a2－4bc≤0.

相加有a2－2ab+b2+b2－2bc+c2+c2－2ac+a2≤0，

（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2≤0.                                      ①

由題意a、b、c互不相等，∴①式不能成立.

∴假設(shè)不成立，即三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根.

 

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