Question

二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1．
（I）求f（x）的解析式；
（II）若函數(shù)g（x）=f（x）-2x，，x∈[-1，1]，且不等式g（x）＞m恒成立，求g（x）的值域和實數(shù)m的范圍．

Answer 1

分析：（I）設f（x）=ax²+bx+c，a≠0，，f（x+1）-f（x）=2x可求a，b，由f（0）=1可求c，進而可求f（x）
（II）由（I）得：g（x）=f（x）-2x=x²-3x+1=(x-

3

2

)2-

5

4

，x∈[-1，1]，結合二次函數(shù)的性質可求g（x）的最小值，由g（x）＞m恒成立，則m＜g（x）_min，從而可求m的范圍

解答：解：（I）設f（x）=ax²+bx+c，a≠0，（2分）
f（x+1）-f（x）=[a（x+1）²+b（x+1）+c]-（ax²+bx+c）=2ax+a+b…（4分）
與已知條件比較得：

2a=2 a+b=0

解之得，

a=1 b=-1

，
又f（0）=c=1，
∴f（x）=x²-x+1                   …（6分）
（II）由（I）得：g（x）=f（x）-2x=x²-3x+1
=(x-

3

2

)2-

5

4

，x∈[-1，1]…（8分）
當x=1時，g（x）有最小值-1，
當x=-1時，g（x）有最大值5，
∴g（x）的值域為[-1，5]；             …（10分）
∵不等式g（x）＞m恒成立，
∴m＜-1
∴實數(shù)m的范圍是（-∞，-1）…（12分）

點評：本題主要考查了利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的最值的求解，函數(shù)的恒成立與函數(shù)最值求解的相互轉化的應用．