Question

8．銷售甲、乙兩種商品所得利潤分別是P（單位：萬元）和Q（單位：萬元），它們與投入資金t（單位：萬元）的關(guān)系有經(jīng)驗公式P=$\frac{1}{5}$t，Q=$\frac{3}{5}\sqrt{t}$．今將3萬元資金投入經(jīng)營甲、乙兩種商品，其中對甲種商品投資x（單位：萬元），
（1）試建立總利潤y（單位：萬元）關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)對甲種商品投資x（單位：萬元）為多少時？總利潤y（單位：萬元）值最大．

Answer 1

分析 （1）通過設(shè)出甲投資以及乙投資的數(shù)目，設(shè)立函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)函數(shù)式直接寫出定義域；
（2）對于（1）中的函數(shù)解析式，利用換元法轉(zhuǎn)化成一個二次函數(shù)的形式，最后結(jié)合二次函數(shù)的最值求法得出函數(shù)的最大值，從而解決問題．

解答 解：（1）$y=\frac{1}{5}x+\frac{3}{5}\sqrt{3-x}$（0≤x≤3）…6分
（2）設(shè)$\sqrt{3-x}=t$，x=3-t²，因為0≤x≤3，所以$0≤t≤\sqrt{3}$，…8分$y=\frac{1}{5}（3-{t^2}）+\frac{3}{5}t=-\frac{1}{5}{t^2}+\frac{3}{5}t+\frac{3}{5}=-\frac{1}{5}{（t-\frac{3}{2}）^2}+\frac{21}{20}$.$（0≤t≤\sqrt{3}）$…12分
當(dāng)$t=\frac{3}{2}$時，即 $x=\frac{3}{4}$時，${y_{max}}=\frac{21}{20}$．…13分
答：應(yīng)甲種商品投資$\frac{3}{4}$萬元，對乙種商品投資$\frac{9}{4}$萬元時，總利潤最大，最大值為$\frac{21}{20}$萬元．…14分．

點評 本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，通過對實際問題的分析，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型從而解決問題．需要對知識熟練的掌握并應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．