Question

若數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足關(guān)系：an=

1+bn

1-bn

，an+1=

1

2

(an+

1

an

)n∈N^*，a₁=3．
（1）求證：數(shù)列{lgb_n}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)T_n=b₁b₂b₃…b_n，求滿足Tn≥

1

128

的n的集合M；
（3）設(shè)cn=

2 bn

bn-1

，{c_n}的前n項(xiàng)和為S_n，試探索a_n與S_n之間的關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）要證數(shù)列{lgb_n}是等比數(shù)列，需找到與lgb_n有關(guān)的式子，可把an=

1+bn

1-bn

代入an+1=

1

2

(an+

1

an

)轉(zhuǎn)化成與lgb_n有關(guān)的式子；
（2）求出b_n后，代入T_n=b₁b₂b₃…b_n，然后運(yùn)用同底冪相乘底數(shù)不變指數(shù)相化簡(jiǎn)得T_n，最后代入Tn≥

1

128

求n的集合；
（3）因?yàn)閍_n、c_n都與b_n有關(guān)系，把b_n代入a_n、c_n的表達(dá)式后得出a_n-a_n-1=c_n（n≥2），累加后得a_n-a₁=s_n-c₁，從而得到a_n與S_n之間的關(guān)系式．

解答：解：（1）∵an=

1+bn

1-bn

∴an+1=

1+bn+1

1-bn-1

 由an+1=

1

2

(an+

1

an

)，得

1+bn+1

1-bn+1

=

1

2

(

1+bn

1-bn

+

1-bn

1+bn

)=

1+ b 2 n

1- b 2 n

，
∴bn+1=

b

2 n

，即lgb_n+1=2lgb_n，
又

1+b1

1-b1

=a1=3，b1=

1

2

，lgb₁=-lg2≠0，
所以數(shù)列{lgb_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)-lg2，公比2；
（2）由（1）得：lgbn=(-lg2)•2n-1⇒bn=(

1

2

)2n-1，Tn=b1b2…bn=(

1

2

)1+2+…+2n-1=(

1

2

)2n-1≥

1

128

⇒2n-1≤7
∴2ⁿ≤8，即n≤3，又因?yàn)閚∈N^*
∴M={1，2，3}；
（3）因?yàn)?span id="xlcnfqs" class="MathJye">an=

1+bn

1-bn

，所以an=

1+( 1 2 )2n-1

1-( 1 2 )2n-1

=

22n-1+1

22n-1-1

=1+

2

(22n-2+1)(22n-2-1)

=1+

1

22n-2-1

-

1

22n-2+1

同理an-1═

22n-2+1

22n-2-1

=1+

2

22n-2-1

，則an-an-1=

2•22n-2

1-22n-1

，又cn=

2 bn

1-bn

=

2•22n-2

1-22n-1

∴a_n-a_n-1=c_n（n≥2），
∴a_n-a₁=s_n-c₁，
∵a1=3，c1=-2

2

∴an=Sn+3+2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列求和與不等式的綜合，試題中以b_n為媒介，聯(lián)系了兩個(gè)數(shù)列a_n與c_n，最后考查了數(shù)列求和的累加法．解答該題的關(guān)鍵是如何順利的把數(shù)列b_n的通項(xiàng)轉(zhuǎn)化成a_n與b_n的表達(dá)式．