Question

5．雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，斜率為1的直線l經(jīng)過(guò)M（2，0）且此雙曲線與l交于A、B兩點(diǎn)，若|AB|=4$\sqrt{3}$，求雙曲線的方程．

Answer 1

分析 由離心率公式可得c=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，設(shè)出直線AB方程，然后聯(lián)立雙曲線的方程消去y得x的方程，利用|AB|=4$\sqrt{3}$，建立方程，即可求a=$\sqrt{2}$，求得b，即可得到所求雙曲線的方程．

解答 解：設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，即c=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
設(shè)直線方程為y=x-2，
將b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a代入雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，即有x²-2y²=a²，
整理可得x²-8x+8+a²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=8，x₁x₂=8+a²，
|AB|=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{64-4（8+{a}^{2}）}$=4$\sqrt{3}$，
解得a=$\sqrt{2}$，即有b=1，
則雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，注意運(yùn)用直線方程和雙曲線的方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．