Question

【題目】如圖，三棱柱的所有棱長都是2，平面ABC，D，E分別是AC，的中點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

（1）利用線面垂直的判定和性質(zhì)，得到平面，進(jìn)而證得；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求面DBE和面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得二面角的余弦值.

（1）∵，D是AC的中點(diǎn)，∴，

∵平面ABC，∴平面平面ABC，

∴平面，∴．

又∵在正方形中，D，E分別是AC，的中點(diǎn)，易證得∴△A1AD≌△ACE

∴∠A1DA=∠AEC, ∵∠AEC+∠CAE=90°，∴∠A1DA+∠CAE=90° ,即．

又，∴平面．

又，則

（2）取中點(diǎn)F，以DF，DA，DB為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系

，，，，，

，，

設(shè)平面DBE的一個法向量為，

則，

令，則，

設(shè)平面的一個法向量為，

則，

令，則，

設(shè)二面角的平面角為，觀察可知為銳角，

故二面角的余弦值為．