等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=
2
，AD是BC邊上的高，P為AD的中點，點M、N分別為AB邊和AC邊上的點，且M、N關(guān)于直線AD對稱，當
PM
•
PN
=-
1
2
時，
AM
MB
=
 
．
分析：可先求出AD=1，AP=
1
2
，又根據(jù)
PM
•
PN
=-
1
2
知(
PA
+
AM
)•(
PA
+
AN
)=-
1
2
，又可化簡為
PA
2+(
AM
+
AN
)•
PA
+
AM
•
AN
=-
1
2
，由M、N關(guān)于直線AD對稱得到|
AM
|×
1
2
×cos1350+|
AN
|×
1
2
×cos1350=-
3
4
，
從而得到答案．
解答：解：由等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=
2
，
AD是BC邊上的高，P為AD的中點知AD=1，AP=
1
2
，
另
PM
•
PN
=-
1
2
知(
PA
+
AM
)•(
PA
+
AN
)=-
1
2

化簡為
PA
2+(
AM
+
AN
)•
PA
+
AM
•
AN
=-
1
2
，
又M、N關(guān)于直線AD對稱知|
AM
|×
1
2
×cos1350+|
AN
|×
1
2
×cos1350=-
3
4
，
故AM=
3
2
4
，所以
AM
MB
=3．
故答案為：3
點評：本題主要考查向量的數(shù)量積運算．平面向量的數(shù)量積在無論是求點乘還是求向量的模都起著至關(guān)重要的作用．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在等腰直角三角形ABC中，C=90°，直角邊BC在直線2x+3y-6=0上，頂點A的坐標是（5，4），求邊AB 和AC所在的直線方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知等腰直角三角形ABC的斜邊所在的直線是3x-y+2=0，直角頂點是C（3，-2），則兩條直角邊AC，BC的方程是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•紅橋區(qū)二模）已知橢圓：
x2
a2
+
y2
b2
=l（a＞b＞0）的一個頂點坐標為B（0，1），若該橢圓的離心率等于
3
2
．
（1）求橢圓的方程．
（2）設Q是橢圓上任意一點，F(xiàn)1F2分別是左、右焦點，求∠F1QF2的取值范圍；
（3）以B為直角頂點作橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形ABC，判斷這樣的三角形存在嗎？若存在，有幾個？若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點C在∠ACB內(nèi)部任作一射線CM，與線段AB交于點M，求AM＜AC的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

等腰直角三角形ABC，E、F分別是斜邊BC的三等分點，則tan∠EAF=（　�。�
A、
3
3
B、
3
C、
4
3
D、
3
4

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