Question

13．已知復(fù)數(shù)z=（m-1）+（2m+1）i（m∈R）
（1）若z為純虛數(shù)，求實數(shù)m的值；
（2）若z在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點位于第二象限，求實數(shù)m的取值范圍及|z|的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用純虛數(shù)的定義即可得出．
（2）利用復(fù)數(shù)模的計算公式、幾何意義即可得出．

解答 解：（1）∵z=（m-1）+（2m+1）i（m∈R）為純虛數(shù)，
∴m-1=0且2m+1≠0∴m=1…（4分）
（2）z在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點為（m-1，2m+1））
由題意：$\left\{\begin{array}{l}m-1＜0\\ 2m+1＞0\end{array}\right.$，∴$-\frac{1}{2}＜m＜1$．
即實數(shù)m的取值范圍是$（-\frac{1}{2}，1）$．…（7分）
而|z|=$\sqrt{{{（m-1）}^2}+{{（2m+!）}^2}}$=$\sqrt{5{m^2}+2m+2}$=$\sqrt{5{{（m+\frac{1}{5}）}^2}+\frac{9}{5}}$，
當(dāng)$m=-\frac{1}{5}∈$$（-\frac{1}{2}，1）$時，${|z|_{min}}=\sqrt{\frac{9}{5}}$=$\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$．…（10分）

點評 本題考查了純虛數(shù)的定義、復(fù)數(shù)模的計算公式、幾何意義、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．