下列四個(gè)命題：
①在空間中，存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)到三角形各邊的距離相等；
②在空間中，存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)到長(zhǎng)方形各邊的距離相等；
③在空間中，既存在到長(zhǎng)方體各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，又存在到它的各個(gè)面距離相等的點(diǎn)；
④在空間中，既存在到四面體各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，又存在到它的各個(gè)面距離相等的點(diǎn)．
其中真命題的序號(hào)是
①④
①④
．（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）
分析：對(duì)于①，過(guò)三角形的內(nèi)心且垂直于該三角形所在平面的直線上任意一點(diǎn)到該三角形的各邊的距離都相等；對(duì)于②，假設(shè)存在點(diǎn)到長(zhǎng)方形的各邊的距離相等，則該點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，該點(diǎn)必在過(guò)這個(gè)長(zhǎng)方形的中心且與這個(gè)長(zhǎng)方形所在的平面垂直的直線上，由此可知該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬相等，而對(duì)于任意的長(zhǎng)方形而言其長(zhǎng)、寬未必相等；對(duì)于③，若存在到長(zhǎng)方體的各個(gè)面距離相等的點(diǎn)，則該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高相等，而對(duì)于任意的長(zhǎng)方體而言其長(zhǎng)、寬、高未必相等；對(duì)于④，以四面體的棱為一長(zhǎng)方體的側(cè)面的對(duì)角線構(gòu)造長(zhǎng)方體，該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的交點(diǎn)到該四面體的各頂點(diǎn)的距離相等；顯然該四面體的內(nèi)切球的球心到其各面的距離相等，故可判斷．
解答：解：對(duì)于①，容易得知，過(guò)三角形的內(nèi)心且垂直于該三角形所在平面的直線上任意一點(diǎn)到該三角形的各邊的距離都相等，因此①是真命題．
對(duì)于②，假設(shè)存在點(diǎn)到長(zhǎng)方形的各邊的距離相等，則該點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，該點(diǎn)必在過(guò)這個(gè)長(zhǎng)方形的中心且與這個(gè)長(zhǎng)方形所在的平面垂直的直線上，由此可知該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬相等，而對(duì)于任意的長(zhǎng)方形而言其長(zhǎng)、寬未必相等，因此②是假命題．
對(duì)于③，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的交點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離相等，若存在到長(zhǎng)方體的各個(gè)面距離相等的點(diǎn)，則該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高相等，而對(duì)于任意的長(zhǎng)方體而言其長(zhǎng)、寬、高未必相等，因此③是假命題．
對(duì)于④，以四面體的棱為一長(zhǎng)方體的側(cè)面的對(duì)角線構(gòu)造長(zhǎng)方體，可知該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的交點(diǎn)到該四面體的各頂點(diǎn)的距離相等；顯然該四面體的內(nèi)切球的球心到其各面的距離相等，因此④是真命題．
綜上所述，其中真命題的序號(hào)是①④
故答案為：①④
點(diǎn)評(píng)：本題以命題為載體，考查命題的真假判斷，解題時(shí)需要結(jié)合具體的幾何體，充分利用幾何體的性質(zhì)一一判斷．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給出下列四個(gè)命題：
（1）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和可能為零；
（2）對(duì)k∈R，直線y-kx-1=0與橢圓
x2
5
+
y2
m
=1恒有公共點(diǎn)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≥1
（3）向量
a
=(x2，x+1)，
b
=(1-x，t)，若函數(shù)f（x）=
a
-
b
在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（5，+∞）；
（4）我們定義非空集合A的真子集的真子集為A的“孫集”，則集合{2，4，6，8，10}的“孫集”有26個(gè)．
其中正確的命題有
 
（填番號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給出下列四個(gè)命題：
①命題p：?x∈R，sin≤1，則￢p：?x∈R，sinx＜1，
②當(dāng)a≥1時(shí)，不等式|x-4|+|x-3|＜a的解集為非空；
③當(dāng)x＞1時(shí)，有l(wèi)nx+
1
lnx
≥2
④設(shè)有五個(gè)函數(shù).y=x，y=x
1
2
，y=x3，y=x2，y=2x，其中既是偶函數(shù)又在（0，+∞） 上是增函數(shù)的有2個(gè)．
其中真命題的序號(hào)是
③
③
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給出下列四個(gè)命題：
①命題p：?x∈R，sinx≤1，則￢p：?x∈R，sinx＜1；
②當(dāng)a≥1時(shí)，不等式|x-4|+|x-3|＜a的解集為非空；
③當(dāng)x＞1時(shí)，有1nx+
1
1nx
≥2；
④設(shè)有五個(gè)函數(shù)y=x-1，y=x
1
2
，y=x3，y=x2，y=2|x|，其中既是偶函數(shù)又在（0，+∞）上是增函數(shù)的有2個(gè)．
其中真命題的序號(hào)是
③④
③④
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給出下列四個(gè)命題：
（1）已知函數(shù)f（x）=
1
2
x2   x≤2
log2(x+a)  x＞2
在定義域內(nèi)是連續(xù)函數(shù)，數(shù)列{an}通項(xiàng)公式為an=
1
an
，則數(shù)列{an}的所有項(xiàng)之和為1．
（2）過(guò)點(diǎn)P（3，3）與曲線（x-2）2-
(y-1)2
4
=1有唯一公共點(diǎn)的直線有且只有兩條．
（3）向量
a
=(x2，x+1)，
b
=(1-x，t)，若函數(shù)f（x）=
a
•
b
在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（5，+∞）；
（4）我們定義非空集合A的真子集的真子集為A的“孫集”，則集合{2，4，6，8，10}的“孫集”有26個(gè)．
其中正確的命題有
（1）（2）（4）
（1）（2）（4）
（填序號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010-2011學(xué)年四川省成都九中高三（下）3月月考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：填空題

給出下列四個(gè)命題：
（1）已知函數(shù)f（x）=在定義域內(nèi)是連續(xù)函數(shù)，數(shù)列{an}通項(xiàng)公式為an=，則數(shù)列{an}的所有項(xiàng)之和為1．
（2）過(guò)點(diǎn)P（3，3）與曲線（x-2）2-=1有唯一公共點(diǎn)的直線有且只有兩條．
（3）向量，，若函數(shù)f（x）=在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（5，+∞）；
（4）我們定義非空集合A的真子集的真子集為A的“孫集”，則集合{2，4，6，8，10}的“孫集”有26個(gè)．
其中正確的命題有    （填序號(hào)）

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