Question

（2013•資陽(yáng)二模）橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，直線y=-

3

x與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，且AF⊥BF，則橢圓C的離心率為

3

-1

．

Answer 1

分析：由

y=- 3 x x2 a2 + y2 b2 =1

可解得點(diǎn)A、B坐標(biāo)，進(jìn)而得到向量

AF

、

BF

的坐標(biāo)，由AF⊥BF，得

AF

•

BF

=0，把b²=a²-c²代入該式整理后兩邊同除以a⁴，得e的方程，解出即可，注意e的取值范圍．

解答：解：由

y=- 3 x x2 a2 + y2 b2 =1

，得（3a²+b²）x²=a²b²，解得x=±

ab

3a2+b2

，分別代入y=-

3

x得y=±

3 ab

3a2+b2

，
所以A（

ab

3a2+b2

，-

3 ab

3a2+b2

），B（-

ab

3a2+b2

，

3 ab

3a2+b2

），
則

AF

=(c-

ab

3a2+b2

，

3 ab

3a2+b2

)，

BF

=(c+

ab

3a2+b2

，-

3 ab

3a2+b2

)，
由AF⊥BF，得

AF

•

BF

=0，即c2-

a2b2

3a2+b2

-

3a2b2

3a2+b2

=0，即c2=

4a2b2

3a2+b2

（*），
把b²=a²-c²代入（*）式并整理得4a²c²-c⁴=4a²（a²-c²），
兩邊同除以a⁴并整理得e⁴-8e²+4=0，解得e2=4+2

3

，
所以e=

3

-1，
故答案為：

3

-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬中檔題．