Question

6．自圓C：（x-3）²+（y+4）²=4外一點(diǎn)P（x，y）引該圓的一條切線，切點(diǎn)為Q，切線的長(zhǎng)度等于點(diǎn)P到原點(diǎn)O的長(zhǎng)，則|PQ|的最小值為（　�。�

• A． $\frac{13}{10}$
• B． 3
• C． 4
• D． $\frac{21}{10}$

Answer 1

分析 由題意畫出圖象，根據(jù)條件和圓的切線性質(zhì)列出方程化簡(jiǎn)，求出點(diǎn)P的軌跡方程，結(jié)合條件和兩點(diǎn)之間、點(diǎn)到直線的距離公式求出|PQ|的最小值．

解答 解：由題意得，圓心C（3，-4），半徑r=2，如圖：
因?yàn)閨PQ|=|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|²+r²=|PC|²，
所以x²+y²+4=（x-3）²+（y+4）²，
即6x+8y-21=0，所以點(diǎn)P在直線6x+8y-21=0上，
要使|PQ|最小，只要|PO|最小即可，
當(dāng)直線PO垂直于直線6x+8y-21=0時(shí)，|PQ|最小，
此時(shí)|PQ|最小值是$\frac{|-21|}{\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}}$=$\frac{21}{10}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線性質(zhì)，勾股定理、兩點(diǎn)之間和點(diǎn)到直線的距離公式，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．