Question

設函數(shù)f(x)=

3

sin2x+2cos2x+2．
（I）求f（x）最小正周期和值域；
（II）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，若A=

π

3

，△ABC的面積為

3

2

，求f（A）及a的值．

Answer 1

分析：（I）將f（x）=

3

sin2x+2cos²x+2化為f（x）=2sin（2x+

π

6

）+3即可求得f（x）最小正周期和值域；
（II）由（I）可知f（A）=2sin（2A+

π

6

）+3，可求得f（

π

3

）=4；在△ABC中，利用面積公式S_△=

1

2

bcsinA，c=1，可求得b=2，再由余弦定理可求得a．

解答：解：（I）∵f（x）=

3

sin2x+2cos²x+2
=

3

sin2x+cos2x+3
=2（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）+3
=2（cos

π

6

sin2x+sin

π

6

cos2x）
=2sin（2x+

π

6

）+3…（4分）
∴f（x）最小正周期為T=π，…（5分）
∴當x=2kπ+

π

2

，k∈Z時，f（x）有最大值5；
當x=2kπ-

π

2

，k∈Z時，f（x）有最小值1；                …（7分）
∴f（x）的值域為[1，5]…（8分）
（II）由（I）可知f（A）=2sin（2A+

π

6

）+3，…（9分）
∴f（

π

3

）=2sin（2×

π

3

+

π

6

）+3=2sin

5π

6

+3=4…（11分）
∴S_△=

1

2

bcsinA，則

3

2

=

1

2

bcsin

π

3

，
∴bc=2，又c=1，故b=2，
又a²=b²+c²-2bccosA=1²+2²-4cos

π

3

，
∴a=

3

…（13分）

點評：本題考查正弦定理與余弦定理的應用，考查輔助角公式的應用與正弦函數(shù)的性質及三角函數(shù)的化簡求值，綜合性強，但難度不大，屬于中檔題．