Question

已知兩圓和，動(dòng)圓P與⊙O₁外切，且與⊙O₂內(nèi)切.

（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)M(5，0)作直線與點(diǎn)P的軌跡交于不同兩點(diǎn)A、B，試推斷是否存在直線，使得線段AB的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心O₂？若存在，求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

（Ⅰ）動(dòng)圓圓心P的軌跡方程是

（Ⅱ）不存在直線使得線段AB的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心O₂.

解析:

（Ⅰ）由已知，點(diǎn)，，，，則

|O₁O₂|＝2＜，所以⊙O₁內(nèi)含于⊙O₂.                                 （2分）

設(shè)圓P的半徑為r，因?yàn)閯?dòng)圓P與⊙O₁外切，且與⊙O₂內(nèi)切，則

.

所以動(dòng)圓圓心P軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓.                                （4分）

因?yàn)?img width=49 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/93/166893.gif">，，所以.

故動(dòng)圓圓心P的軌跡方程是.                                        （6分）

（Ⅱ）因?yàn)橹本�x＝5與橢圓無(wú)交點(diǎn)，可設(shè)直線的方程為.

 由，得，即.

（8分）

設(shè)點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為，則

 ，.            （10分）

若線段AB的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心O₂，則CO₂⊥，即.

 所以，即4＝0，矛盾！                         （12分）

故不存在直線使得線段AB的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心O₂.                           (13分)